मात्रात्मक अभियोग्यता सूत्र-संग्रह: याद रखने योग्य हर सूत्र एक पन्ने पर

यह पन्ना उन सूत्रों को एक जगह समेटता है जो मात्रात्मक खंड असल में पूछता है, ताकि तैयारी के अंतिम हफ़्ते किसी किताब में सूत्र ढूँढने के बजाय स्मरण जाँचने में लगें। यह जान-बूझकर संक्षिप्त है। यहाँ का हर सूत्र — हल किए उदाहरणों, तर्क और उसके इर्द-गिर्द बुने जाल के साथ — हर खंड से जुड़े विषय-लेख में ठीक से समझाया गया है। उनसे सीखिए, इससे दोहराइए।

सूत्रों से पहले एक नियम: प्रीलिम्स में कोई कैलकुलेटर नहीं, RRB NTPC और SSC में तो बिल्कुल नहीं, और किसी में सूत्र-पत्र नहीं। नीचे का सब कुछ स्मरण में होना चाहिए, जो “मैं इसे समझता हूँ” से ऊँचा मानक है। इसे मॉक टेस्ट से जाँचिए, दोबारा पढ़कर नहीं।

संख्या और मूल योग

राशि	सूत्र
पहली n प्राकृत संख्याओं का योग	n(n + 1) / 2
वर्गों का योग 1² … n²	n(n + 1)(2n + 1) / 6
घनों का योग 1³ … n³	[n(n + 1) / 2]²
पहली n विषम संख्याओं का योग	n²
पहली n सम संख्याओं का योग	n(n + 1)
N = aˣ·bʸ·cᶻ के गुणनखंडों की संख्या	(x + 1)(y + 1)(z + 1)

तीस तक के वर्ग, पंद्रह तक के घन और भिन्न-से-प्रतिशत तालिका इस पूरे खंड में याद करने योग्य सबसे उपयोगी चीज़ें हैं; ये विधि सहित गणना गति में पूरी दी गई हैं।

प्रतिशत

राशि	सूत्र
y का x%	xy / 100
प्रतिशत परिवर्तन	(परिवर्तन / मूल) × 100
a% फिर b% के दो क्रमिक परिवर्तन	a + b + ab/100
यदि A, B से x% अधिक है तो B, A से कम है	[x / (100 + x)] × 100 %
यदि A, B से x% कम है तो B, A से अधिक है	[x / (100 − x)] × 100 %

क्रमिक-परिवर्तन सूत्र में चिह्न मायने रखता है: 20% वृद्धि फिर 20% कमी = 20 − 20 − 400/100 = −4%, यानी शुद्ध हानि, शून्य नहीं। पूरा विवरण प्रतिशत, लाभ और औसत में।

लाभ, हानि और छूट

राशि	सूत्र
लाभ %	(SP − CP) / CP × 100
हानि %	(CP − SP) / CP × 100
विक्रय मूल्य	CP × (100 + लाभ%) / 100
छूट %	(MP − SP) / MP × 100
a% और b% की दो क्रमिक छूट	a + b − ab/100 (शुद्ध छूट)
एक ही SP पर +x% और −x% पर बेचा गया	हमेशा (x/10)² % की हानि

अंतिम पंक्ति हर चक्र में लगाया जाने वाला जाल है: एक ही मूल्य पर दो वस्तुएँ, एक x% लाभ पर और एक x% हानि पर बेचना कभी बराबरी नहीं देता — पूरे सौदे पर सदा (x/10)² प्रतिशत की हानि होती है।

साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज

राशि	सूत्र
साधारण ब्याज	P × R × T / 100
चक्रवृद्धि पर मिश्रधन	P × (1 + R/100)ᵀ
2 वर्ष के लिए CI − SI	P × (R/100)²
3 वर्ष के लिए CI − SI	P × (R/100)² × (3 + R/100)
अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि	दर R/2, समय 2T

दो-वर्ष और तीन-वर्ष के ये अंतर-सूत्र तुरंत याद होने चाहिए, क्योंकि प्रश्न प्रायः “CI और SI का अंतर ₹X है, मूलधन ज्ञात कीजिए” होता है। पूरा हल साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज में।

अनुपात, समानुपात और साझेदारी

राशि	सूत्र
समानुपात	a : b = c : d यानी a × d = b × c
राशि A को m : n में बाँटना	m/(m+n) × A और n/(m+n) × A
साझेदारी में लाभ का बँटवारा	प्रत्येक के (पूँजी × समय) के अनुपात में
a और b के बीच मध्यानुपाती	√(ab)

औसत, मिश्रण और एलिगेशन

राशि	सूत्र
औसत	प्रेक्षणों का योग / प्रेक्षणों की संख्या
समान दूरी x और y चाल पर औसत चाल	2xy / (x + y)
एलिगेशन (मात्राओं का अनुपात)	(महँगा − माध्य) : (माध्य − सस्ता)
एक मान बदलने पर नया औसत	पुराना औसत ± (अंतर / संख्या)

एलिगेशन एक ऐसा नियम है जो कई तरह के प्रश्न हल करता है — मिश्रण, औसत आयु, औसत मूल्य, यहाँ तक कि कुछ डेटा इंटरप्रिटेशन — और इसे आरेख सहित क्षेत्रमिति, मिश्रण और गणना में समझाया गया है।

समय, चाल और दूरी

राशि	सूत्र
चाल	दूरी / समय
km/h से m/s	× 5/18
m/s से km/h	× 18/5
सापेक्ष चाल, विपरीत दिशा	दोनों चालों का योग
सापेक्ष चाल, समान दिशा	दोनों चालों का अंतर
रेलगाड़ी का खंभा पार करना	समय = रेलगाड़ी की लंबाई / चाल
रेलगाड़ी का प्लेटफ़ॉर्म पार करना	समय = (रेल + प्लेटफ़ॉर्म लंबाई) / चाल
नाव की धारा-अनुकूल चाल	नाव + धारा
नाव की धारा-प्रतिकूल चाल	नाव − धारा
नाव और धारा की चाल	½(अनुकूल + प्रतिकूल) और ½(अनुकूल − प्रतिकूल)

ये सब, गणना घटाने वाली अनुपात-विधि के साथ, समय, चाल, दूरी और कार्य में हैं।

समय और कार्य

राशि	सूत्र
यदि काम a दिन में हो तो एक दिन का काम	1 / a
A और B साथ (अकेले a और b दिन)	ab / (a + b) दिन
कार्य-तुल्यता	M₁D₁H₁ / W₁ = M₂D₂H₂ / W₂
पाइप और टंकी	भरने वाला (+), खाली करने वाला (−); दरें जोड़िए

भरोसेमंद तरीका यह है कि कुल कार्य को दिए गए दिनों के ल॰स॰ (LCM) के बराबर मान लीजिए, ताकि हर दर पूर्ण संख्या बन जाए — इससे लगभग सारी भिन्नें हट जाती हैं।

क्षेत्रमिति — द्विविमीय

आकृति	क्षेत्रफल	परिमाप / अन्य
आयत	l × b	2(l + b); विकर्ण √(l² + b²)
वर्ग	a²	4a; विकर्ण a√2
त्रिभुज	½ × आधार × ऊँचाई	—
त्रिभुज (तीन भुजाएँ)	√[s(s−a)(s−b)(s−c)], s = (a+b+c)/2	हीरोन सूत्र
समबाहु त्रिभुज	(√3 / 4) × a²	ऊँचाई = (√3 / 2) × a
वृत्त	π r²	परिधि 2π r
समांतर चतुर्भुज	आधार × ऊँचाई	—
समचतुर्भुज	½ × d₁ × d₂	d₁, d₂ विकर्ण हैं
समलंब	½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई	—

क्षेत्रमिति — त्रिविमीय

ठोस	आयतन	पृष्ठीय क्षेत्रफल
घन	a³	6a²; विकर्ण a√3
घनाभ	l × b × h	2(lb + bh + hl); विकर्ण √(l²+b²+h²)
बेलन	π r² h	वक्र 2π r h; कुल 2π r(r + h)
शंकु	⅓ π r² h	वक्र π r l; कुल π r(r + l); तिर्यक l = √(r² + h²)
गोला	4/3 π r³	4π r²
अर्धगोला	⅔ π r³	वक्र 2π r²; कुल 3π r²

जब त्रिज्या 7 का गुणज हो तो π = 22/7 लीजिए, अन्यथा 3.14; पेपर इस तरह बना होता है कि इनमें से एक साफ़ कट जाए।

बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

सर्वसमिका	विस्तार
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a − b)²	a² − 2ab + b²
a² − b²	(a + b)(a − b)
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ + c³ − 3abc	(a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

“x + 1/x ज्ञात कीजिए” परिवार के लिए उपयोगी जोड़ी: यदि x + 1/x = k, तो x² + 1/x² = k² − 2, और x³ + 1/x³ = k³ − 3k। ये SSC में लगभग हर साल आते हैं।

श्रेढ़ियाँ

अनुक्रम	n-वाँ पद	n पदों का योग
समांतर (पहला a, सार्व अंतर d)	a + (n − 1)d	n/2 × [2a + (n − 1)d] = n/2 × (पहला + अंतिम)
गुणोत्तर (पहला a, सार्व अनुपात r)	a × r⁽ⁿ⁻¹⁾	a(rⁿ − 1) / (r − 1), r ≠ 1 के लिए

क्रमचय, संचय और प्रायिकता

राशि	सूत्र
n में से r का क्रमचय	nPr = n! / (n − r)!
n में से r का संचय	nCr = n! / [r! (n − r)!]
संबंध	nPr = nCr × r!
किसी घटना की प्रायिकता	अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम

प्रश्न क्रमचय है या संचय, यह एक कसौटी से तय होता है: क्रम मायने रखता है क्या? “व्यवस्थाएँ” और “रैंक” क्रमचय हैं; “चयन”, “समिति” और “हाथ मिलाना” संचय हैं।

इस पन्ने का उपयोग कैसे करें

इसे ऊपर से नीचे पढ़कर याद करने की कोशिश मत कीजिए। पहचान स्मरण नहीं है, और परीक्षा स्मरण जाँचती है।
दायाँ स्तंभ ढककर हर सूत्र केवल विषय के नाम से लिखिए। जो कुछ सेकंड में न बने, वही आपकी दोहराने की सूची है; बाकी छोड़ दीजिए।
जो ग़लत हो उसके लिए विषय-लेख पर लौटिए, क्योंकि बिना समझे रटा सूत्र असामान्य ढंग से पूछे जाने पर तुरंत ग़लत लगता है।
इसे समय में सिद्ध कीजिए। एक मॉक टेस्ट बताता है कि कौन-से सूत्र तेज़ हैं और किनमें अब भी रफ़ शीट लगती है — और यही अंतर अच्छे और औसत मात्रात्मक अंक को अलग करता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मुझे मात्रात्मक अभियोग्यता इसी पन्ने से सीखनी चाहिए?

नहीं। यह दोहराने का पन्ना है, पहली बार सीखने का नहीं। यहाँ का हर सूत्र संबंधित विषय-लेख में हल किए उदाहरणों और आम भूलों के साथ ठीक से समझाया गया है। किसी विषय को उस लेख और अभ्यास-सेट से सीखिए, फिर अंतिम हफ़्तों में इस पन्ने से जाँचिए कि हर सूत्र सचमुच स्मरण में है। जिस सूत्र को आप बना-बनाकर निकालते हैं, वही परीक्षा में समय खाता है।

क्या क्षेत्रमिति के सूत्र याद करने पड़ते हैं या परीक्षा में दिए जाते हैं?

दिए नहीं जाते। इन परीक्षाओं में कोई सूत्र-पत्र नहीं मिलता, इसलिए यहाँ का हर मान स्मरण में होना चाहिए। क्षेत्रमिति वही विषय है जिसे अभ्यर्थी परीक्षा से दो दिन पहले याद पर छोड़ देते हैं और आसान अंक गँवाते हैं, क्योंकि शंकु, बेलन और गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन दबाव में गड्डमड्ड हो जाते हैं। इन्हें तब तक रटिए जब तक शंकु और बेलन अलग-अलग न बैठ जाएँ।

इनमें से सबसे ज़्यादा कौन-से सूत्र आते हैं?

प्रतिशत, लाभ-हानि, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज, अनुपात, औसत और समय-चाल-दूरी मिलकर हर प्रीलिम्स पेपर के अधिकांश अंकगणित बनाते हैं, और डेटा इंटरप्रिटेशन असल में प्रतिशत और अनुपात ही है। समय कम हो तो इस पन्ने का ऊपरी आधा हिस्सा निचले आधे से ज़्यादा अंक देता है। क्षेत्रमिति, क्रमचय-संचय और श्रेढ़ी SSC तथा टियर-II पेपरों में अधिक मूल्यवान हैं।