साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज: पूरा प्रश्न इसी अंतर पर टिका है

ब्याज मूल अंकगणित है, और बैंक परीक्षाओं में यह सीधे प्रश्नों के रूप में तथा उससे अधिक बार डेटा इंटरप्रिटेशन और केसलेट के भीतर दबा हुआ आता है। सूत्र छोटे और तय हैं, इसलिए यह विषय चतुराई नहीं, बल्कि स्मरण में रखे मुट्ठी भर मानक परिणामों पर अंक देता है, जो आम प्रश्न-प्रकारों को एक-चरणीय गणना बना देते हैं।

पूरा विषय एक भेद पर टिका है। साधारण ब्याज केवल मूल मूलधन पर लगता है, इसलिए वह हर साल समान मात्रा से बढ़ता है। चक्रवृद्धि ब्याज चलते हुए कुल योग पर लगता है, इसलिए हर साल का ब्याज खुद भी ब्याज कमाता है। लगभग हर प्रश्न इन्हीं दो व्यवहारों के बीच के अंतर पर बना होता है।

दोनों सूत्र, और उनका अर्थ

मूलधन P पर r% दर से t साल का साधारण ब्याज है P·r·t/100। हर साल का ब्याज एक जैसा होता है और कुल बस जुड़ता जाता है, जिससे साधारण ब्याज के प्रश्न मूलतः अनुपाती तर्क बन जाते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज P·(1 + r/100)^t की राशि देता है, और ब्याज वह राशि घटा P है। घातांक ही इसे साधारण ब्याज से अलग करता है, और वही इसे हाथ से खोलने में धीमा बनाता है। एक, दो और तीन साल की जिन स्थितियों को बैंक परीक्षाएँ असल में इस्तेमाल करती हैं, उनके लिए इसे खोलना चाहिए ही नहीं।

चक्रवृद्धि ब्याज को बार-बार की प्रतिशत वृद्धि मानिए

सबसे उपयोगी पुनर्रचना यह है कि चक्रवृद्धि ब्याज को सूत्र के रूप में सोचना छोड़कर उसे कई बार लगाई गई प्रतिशत वृद्धि के रूप में सोचा जाए।

• एक साल r% पर बस r% की वृद्धि है।
• दो साल r% पर r + r + r²/100 प्रतिशत की वृद्धि है। 10% पर यह 10 + 10 + 1 = 21% है। यानी 10% पर चक्रवृद्धि होने वाला धन दो साल में 21% का लाभ देता है, एक ही पंक्ति में निकाला।
• तीन साल इसके ऊपर एक तीसरी वृद्धि जोड़ते हैं, पर अधिकांश प्रीलिम्स प्रश्नों के लिए दो-साल की प्रभावी दर और एक चरण और काफ़ी है।

यह वही क्रमिक-प्रतिशत तर्क है जो पूरे अंकगणित में काम आता है, इसलिए इसमें आम तौर पर प्रवाहमय होना सिर्फ़ ब्याज के लिए नहीं, हर जगह के लिए फ़ायदेमंद है।

याद रखने लायक अंतर

ब्याज के पसंदीदा विषय होने का कारण यह है कि चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज के अंतर का एक साफ़ बंद-रूप सूत्र है, और प्रश्न सीधे उसी पर बनाए जाते हैं।

• दो-साल का अंतर। दो साल में चक्रवृद्धि ब्याज घटा साधारण ब्याज बराबर है P·(r/100)²। यह ठीक पहले साल के ब्याज पर एक साल का साधारण ब्याज है। तो P = 10,000 पर 10% पर दो-साल का अंतर 10,000 × (1/10)² = 100 है, बिना दोनों में से किसी ब्याज को पूरा निकाले।
• तीन-साल का अंतर। अंतर P·(r/100)²·(3 + r/100) है — भारी परिणाम, पर वह जो लंबी गणना को एक प्रतिस्थापन में बदल देता है।

यदि कोई प्रश्न अंतर देकर मूलधन या दर पूछे, या मूलधन और दर देकर अंतर पूछे, तो आपको इन्हीं का सीधे उपयोग करना है। दोनों ब्याज पूरे निकालकर हल करना वह धीमा रास्ता है जिसकी सेटर आपसे उम्मीद कर रहा है।

चक्रवृद्धि की आवृत्ति पढ़िए

दर और अवधि हमेशा मेल खानी चाहिए, और जाल यह है कि दर सालाना दी हो पर चक्रवृद्धि उससे अधिक बार होती हो।

• छमाही चक्रवृद्धि दर को आधा और अवधियों की संख्या को दोगुना करती है: सालाना 10%, एक साल के लिए छमाही चक्रवृद्धि, यानी 5% दो बार लगाया।
• तिमाही चक्रवृद्धि दर को एक-चौथाई और अवधियों को चौगुना करती है।

यह समायोजन चूकिए और उसके बाद का हर आँकड़ा गलत हो जाता है, इसलिए कुछ भी लिखने से पहले आवृत्ति पहचान लीजिए। प्रश्न इसे साफ़-साफ़ बताता है, ठीक इसीलिए कि कुछ अभ्यर्थी उसे अनदेखा कर आगे बढ़ जाएँ।

एक हल किया हुआ पठन

मान लीजिए कोई प्रश्न मूलधन, सालाना 10% दर देता है और दो साल में चक्रवृद्धि तथा साधारण ब्याज के बीच अंतर पूछता है। साधारण ब्याज निकालने, चक्रवृद्धि ब्याज निकालने और घटाने के बजाय, आप इसे दो-साल के अंतर की स्थिति के रूप में पहचानते हैं और सीधे P × (1/10)² लिख देते हैं। जिस गणना के लिए सेटर ने नब्बे सेकंड रखे थे वह पंद्रह में पूरी हो जाती है, और बचा हुआ समय ही मुद्दा है: ब्याज के प्रश्न कठिन कम ही होते हैं, पर सूत्र से भिड़ने पर लंबे होते हैं, और परीक्षा इसी से तय होती है कि आप किन प्रश्नों को छोटा बना सकते हैं।

अंक कहाँ रिसते हैं

चक्रवृद्धि की आवृत्ति अनदेखा करना। सबसे आम गलत उत्तर तब आता है जब चक्रवृद्धि छमाही या तिमाही थी और सालाना दर सीधे लगा दी जाती है।

चक्रवृद्धि सूत्र को हाथ से खोलना। धीमा और त्रुटि-प्रवण। एक, दो और तीन साल की उन स्थितियों के लिए प्रभावी-दर और अंतर वाले परिणाम इस्तेमाल कीजिए जो परीक्षा असल में पूछती है।

राशि को ब्याज समझ लेना। चक्रवृद्धि सूत्र अंतिम राशि देता है; ब्याज वह राशि घटा मूलधन है। पढ़िए कि प्रश्न कुल चाहता है या सिर्फ़ ब्याज।

दर और समय की इकाइयाँ मेल न खाना। सालाना दर और महीनों में दिया समय — समय को साल में बदलना होगा, दर को वैसे ही नहीं छोड़ना।

वह अभ्यास जो काम आता है

ब्याज तब तेज़ होता है जब मानक परिणाम व्युत्पत्ति नहीं, स्मरण हों, इसलिए अंतर के सूत्रों और दो-साल की प्रभावी दरों का अभ्यास तब तक कीजिए जब तक आप उन तक अपने-आप न पहुँचने लगें। मिले-जुले सेट कीजिए जो ब्याज को उन्हीं अनुपात और साझेदारी प्रश्नों के साथ जोड़ें जिनके बगल में यह पेपर में बैठता है, क्योंकि अंकगणितीय आदतें एक से दूसरे में काम आती हैं।

ब्याज, अनुपात एवं साझेदारी प्रैक्टिस सेट हल कीजिए, और नीचे के अंकगणित को गणना गति से तेज़ रखिए ताकि प्रतिशत वृद्धि ऐसी चीज़ बने जिसे आप देखते हैं, गणना नहीं करते।