प्रतिशत, लाभ और औसत: एक ही विचार तीन रूपों में

प्रतिशत, लाभ-हानि और औसत तीन विषय दिखते हैं, पर बैंक या रेलवे प्रीलिम्स में ये एक ही कौशल हैं जो तीन तरह से पूछे जाते हैं। हर एक असल में किसी अनुपात के बारे में एक कथन है, और जैसे ही आप उन्हें इस तरह पढ़ते हैं, वे लंबी गणनाएँ जिनकी सेटर उम्मीद करता है, एक ही गुणा में सिमट जाती हैं। यही वह छोटी-सी आदतों का समूह है जो ऐसा करता है।

प्रतिशत एक गुणक है, दो-चरणीय योग नहीं

किसी संख्या में 20% जोड़ने का धीमा तरीका है 20% निकालना फिर जोड़ना। तेज़ तरीका है एक बार 1.2 से गुणा। हर प्रतिशत परिवर्तन एक गुणक है:

• +20% यानी ×1.2, −20% यानी ×0.8, +7% यानी ×1.07, इत्यादि।
• परिवर्तन उलटने के लिए गुणक से भाग दीजिए। यदि 25% वृद्धि के बाद मूल्य 500 है, तो मूल 500 ÷ 1.25 = 400 है, न कि 500 − 25%।

आम भिन्न-समतुल्य याद कर लेने से यह तत्काल हो जाता है, क्योंकि किसी संख्या का प्रतिशत भिन्न के रूप में सबसे आसान होता है: 12.5% यानी 1/8, 16.66% यानी 1/6, 20% यानी 1/5, 25% यानी 1/4, 33.33% यानी 1/3, 37.5% यानी 3/8, 62.5% यानी 5/8। जब प्रश्न कहे “एक संख्या दूसरी से 37.5% अधिक है”, तो उसे 8 : 11 का अनुपात पढ़िए और आप गणना पूरी तरह छोड़ चुके हैं।

क्रमिक परिवर्तन: जोड़िए, फिर सुधारिए

जब दो प्रतिशत परिवर्तन एक के बाद एक लगते हैं — वृद्धि फिर कमी, दो साल की वृद्धि, या मूल्य पहले बढ़ाकर फिर छूट — तो कुल परिवर्तन a + b + ab/100 होता है, जहाँ a और b अपने-अपने चिह्न रखते हैं।

• 20% वृद्धि के बाद 20% कमी बनती है 20 − 20 − 400/100 = −4%, यानी शुद्ध हानि, इसीलिए “समान प्रतिशत से ऊपर फिर नीचे” कभी शुरुआत पर नहीं लौटता।
• 10% और 10% की वृद्धि मिलकर 21% बनती है — वही प्रभावी-दर विचार जो चक्रवृद्धि ब्याज में काम आता है।

यही एक सूत्र जनसंख्या वृद्धि, मूल्यह्रास और क्रमिक छूट सबको समेटता है, इसलिए यह इनमें से किसी भी अकेले से अधिक मूल्यवान है।

लाभ-हानि: पहले आधार तय कीजिए

पूरा विषय इस पर टिका है कि प्रतिशत किस मूल्य पर बैठा है।

• लाभ और हानि क्रय मूल्य के प्रतिशत हैं। विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 ± लाभ भिन्न)। 25% लाभ यानी विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × 1.25।
• छूट अंकित मूल्य का प्रतिशत है। विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 − छूट भिन्न)।
• जो प्रश्न अंकित मूल्य, छूट और लाभ देता है, वह आपसे कहता है कि अंकित मूल्य से नीचे विक्रय मूल्य तक आइए, फिर विक्रय मूल्य को क्रय मूल्य से जोड़िए। क्रय मूल्य को 100 (या भिन्न-अनुकूल संख्या) मानिए और गुणकों को काम करने दीजिए।

पसंदीदा जाल है प्रतिशत को गलत आधार पर लगाना — लाभ विक्रय मूल्य पर, या छूट क्रय मूल्य पर। एक भी आँकड़ा लिखने से पहले आधार तय कर लीजिए।

औसत: कुल पर काम कीजिए, औसत पर कभी नहीं

औसत बस कुल ÷ संख्या है, इसलिए उपयोगी चाल लगभग हमेशा कुल पर लौटना है।

• कुल में परिवर्तन = औसत में परिवर्तन × वस्तुओं की संख्या। यदि 11 खिलाड़ियों की औसत आयु एक नए खिलाड़ी के आने पर 2 वर्ष बढ़ती है, तो कुल 2 × 11 = 22 बढ़ा, जो नए खिलाड़ी की आयु सीधे बता देता है।
• प्रतिस्थापन। जब एक मान दूसरे से बदला जाता है, तो कुल ठीक उनके अंतर से बदलता है, और औसत उस अंतर बटा संख्या से।
• भारित औसत। m और n आकार के दो समूह, जिनके औसत A और B हैं, का संयुक्त औसत (mA + nB)/(m + n) है — वही मिश्रण वाला ऐलिगेशन विचार, इसलिए इसे यहाँ सीखना दुगुना काम आता है।

औसत के आँकड़े के पीछे सीधे भागना ही वह जगह है जहाँ अभ्यर्थी समय गँवाते और पद छोड़ देते हैं। कुल ही वह राशि है जो वास्तव में संरक्षित रहती है, इसलिए उसी से तर्क कीजिए।

एक हल किया हुआ पठन

मान लीजिए कोई वस्तु क्रय मूल्य से 40% ऊपर अंकित है और फिर 25% छूट पर बेची जाती है। संख्याएँ चुनकर पिसने के बजाय क्रय मूल्य = 100 रखिए। अंकित मूल्य = 140। विक्रय मूल्य = 140 × 0.75 = 105। तो लाभ 100 पर 5 है — यानी 5% लाभ, दो गुणा में पढ़ लिया। सेटर ने जिस प्रश्न के लिए एक अनुच्छेद भर गणना रखी थी, वह क्रय मूल्य 100 मानते ही तीन चालों का हो जाता है।

अंक कहाँ रिसते हैं

अलग-अलग आधारों के प्रतिशत जोड़ना। एक संख्या का 20% और दूसरी का 20% जोड़कर किसी चीज़ का 20% नहीं बनता, जब तक संख्याएँ समान न हों। हर प्रतिशत को उसके अपने आधार से बाँधे रखिए।

ab/100 पद भूल जाना। दो क्रमिक परिवर्तन कभी केवल a + b नहीं होते; सुधार-पद ही तो प्रश्न का मर्म है।

क्रय पर लाभ और विक्रय पर मार्जिन में भ्रम। ये अलग संख्याएँ हैं; पढ़िए कि प्रश्न कौन-सी चाहता है।

औसत से तर्क करना, कुल से नहीं। कुल में बदलिए, बदलाव कीजिए, वापस बदलिए। यह एक अतिरिक्त पंक्ति है जो गलती पूरी तरह हटा देती है।

वह अभ्यास जो काम आता है

जब हर प्रतिशत एक गुणक बन जाए तो ये तीनों एक ही विषय पढ़े जाते हैं, इसलिए इन्हें अलग-अलग खानों में नहीं, साथ अभ्यास कीजिए। प्रतिशत, लाभ और औसत प्रैक्टिस सेट हल कीजिए, और नीचे के गुणन को गणना गति से तेज़ रखिए ताकि 37.5% ऐसी चीज़ बने जिसे आप 3/8 के रूप में देखते हैं, गणना नहीं करते।