समय, चाल, दूरी और कार्य: सब कुछ एक ही अनुपात है

समय और चाल के प्रश्न विविध दिखते हैं — कारें, रेलगाड़ियाँ, नावें, नल, कर्मी — पर ये सब एक ही समीकरण हैं जो अलग-अलग पहलुओं से देखे जाते हैं, साथ में व्युत्क्रम अनुपात पहचानने की एक आदत। एक संबंध और मुट्ठी भर मानक समायोजन सीख लीजिए, और यह विषय समीकरण बनाने का नहीं, यह पढ़ने का हो जाता है कि कौन-सी राशि स्थिर है।

एक संबंध, और उसके भीतर के अनुपात

सब कुछ चाल = दूरी ÷ समय से शुरू होता है, आवश्यकतानुसार पुनर्व्यवस्थित। इसे तेज़ बनाती है यह पढ़ने की आदत कि तीनों में से कौन स्थिर है:

• दूरी स्थिर: चाल और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं। यदि चाल 3 : 4 के अनुपात में बढ़े, तो समय 4 : 3 के अनुपात में घटता है। अधिकांश “तेज़ चले तो x मिनट बचाए” वाले प्रश्न बस यही हैं।
• समय स्थिर: दूरी चाल के अनुपाती है।
• चाल स्थिर: दूरी समय के अनुपाती है।

जिस इकाई-परिवर्तन का आप लगातार उपयोग करेंगे वह है किमी/घंटा को मी/से में 5/18 से गुणा करके, और उलटा 18/5 से। यह सबसे पहले कर लीजिए ताकि इकाइयाँ कभी न उलझें।

औसत चाल: हरात्मक जाल

सबसे अधिक पूछी जाने वाली सूक्ष्मता है समान दूरियों पर अलग-अलग चालों की औसत चाल। चूँकि धीमी चाल पर अधिक समय लगता है, औसत (a + b)/2 नहीं बल्कि हरात्मक माध्य 2ab/(a + b) होता है। घर से दफ़्तर 40 पर और वापस 60 पर जाइए, तो औसत 2 × 40 × 60 / 100 = 48 है, 50 नहीं। हर चाल पर समान समय ही एकमात्र स्थिति है जहाँ साधारण औसत सही होता है — और प्रश्न सावधानी से यही बताते हैं कि कौन-सी स्थिति है।

रेलगाड़ियाँ, नावें और सापेक्ष चाल

ये वही समीकरण हैं, बस दूरी या चाल समायोजित:

• रेलगाड़ियाँ। खंभा पार करना रेलगाड़ी की अपनी लंबाई तय करता है; प्लेटफ़ॉर्म पार करना रेलगाड़ी की लंबाई और प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई तय करता है। दो रेलगाड़ियाँ पास से गुज़रते समय सापेक्ष चाल — विपरीत दिशा में चालों का योग, समान दिशा में अंतर।
• नाव और धारा। धारा के साथ चाल नाव + धारा है, धारा के विरुद्ध नाव − धारा। तो नाव की चाल दोनों का औसत है, और धारा की चाल उनके अंतर की आधी — दो तथ्य जो अधिकांश नदी-प्रश्न देखते ही हल कर देते हैं।

सापेक्ष चाल बस यह प्रेक्षण है कि एक गतिमान वस्तु के दृष्टिकोण से केवल चालों का अंतर मायने रखता है।

समय और कार्य: कुल को ल.स. मानिए

स्वच्छ तरीका है भिन्नों का उपयोग बंद करना। कुल कार्य को समयों का ल.स. लीजिए।

• A 12 दिन में, B 18 दिन में पूरा करता है। कार्य को 36 इकाई लीजिए। तब A रोज़ 3 इकाई, B रोज़ 2 इकाई, साथ में 5 इकाई रोज़, अतः 36 ÷ 5 = 7.2 दिन में पूरा।
• यह कर्मियों के जुड़ने-छूटने, एक-एक दिन बारी, और “A करे फिर B सँभाले” को बिना 1/12 में 1/18 जोड़े सँभाल लेता है।

समय और कार्य नल और टंकी के समान आकार का है (रिसाव ऋणात्मक कार्य है) और दूरी के भी (किया गया कार्य = दर × समय, यानी चाल = दूरी ÷ समय ही पुनर्व्यवस्थित), इसलिए आदतें सीधे एक से दूसरे में जाती हैं।

एक हल किया हुआ पठन

180 मी लंबी रेलगाड़ी 120 मी प्लेटफ़ॉर्म को 20 सेकंड में पार करती है; किमी/घंटा में उसकी चाल क्या है? दूरी = लंबाई + प्लेटफ़ॉर्म = 300 मी, अतः चाल = 300 ÷ 20 = 15 मी/से, और 15 × 18/5 = 54 किमी/घंटा। तीन चरण — दूरी तय कीजिए, भाग दीजिए, बदलिए — उस प्रश्न के लिए जो समीकरण माँगता-सा दिखता है।

अंक कहाँ रिसते हैं

चालों का सीधे औसत लेना। समान दूरियों के लिए 2ab/(a + b) प्रयोग कीजिए; (a + b)/2 तक पहुँचना इस विषय का सबसे आम गलत उत्तर है।

गलत पार-दूरी। खंभा यानी केवल रेलगाड़ी की लंबाई; प्लेटफ़ॉर्म, पुल या दूसरी रेलगाड़ी यानी दूसरी लंबाई जोड़िए।

सापेक्ष-चाल का चिह्न। विपरीत दिशाएँ जुड़ती हैं, समान दिशा घटती है — गणना से पहले तय कीजिए।

समय को चाल की तरह जोड़ना। आप समय जोड़ सकते हैं और दूरी जोड़ सकते हैं, पर चालें कभी नहीं जोड़ें, जब तक बिताया गया समय समान न हो।

वह अभ्यास जो काम आता है

चूँकि रेलगाड़ियाँ, नावें, नल और कर्मी एक ही संबंध के वेश हैं, इन्हें उप-प्रकार से नहीं, मिलाकर अभ्यास कीजिए। समय, चाल, दूरी और कार्य प्रैक्टिस सेट हल कीजिए, और नीचे के अंकगणित को गणना गति से तेज़ रखिए ताकि अनुपात आपको धीमा किए बिना हल हों।