द्विघात समीकरण: दो बार हल किए बिना मूलों की तुलना कीजिए

बैंक परीक्षा का द्विघात सेट तीन से पाँच प्रश्न होता है, और यह इस मायने में असामान्य है कि प्रश्न असल में द्विघात के बारे में है ही नहीं। आपको दो समीकरण दिए जाते हैं, एक x में और एक y में, और केवल उनके बीच का संबंध पूछा जाता है: x, y से बड़ा है, छोटा है, बड़ा या बराबर, छोटा या बराबर, या कोई संबंध स्थापित नहीं हो सकता। मूल इस तुलना का ज़रिया भर हैं, इससे अधिक कुछ नहीं।

अभ्यर्थी ये अंक गुणनखंड में नहीं खोते, जो अधिकांश कर लेते हैं, बल्कि तुलना के चरण में खोते हैं, जो अधिकांश लापरवाही से करते हैं। ख़ासकर अतिव्यापन की स्थिति उसी को फँसाने के लिए बनी है जो केवल एक मूल की एक मूल से तुलना करता है।

मूलों तक गुणनखंडित कीजिए, पर लक्ष्य नज़र में रखिए

दोनों समीकरण मानक द्विघात हैं, और मूलों तक का सबसे तेज़ रास्ता वही योग-और-गुणनफल वाला विभाजन है जो आप पहले से इस्तेमाल करते हैं: x² − 7x + 12 के लिए ऐसे दो अंक ढूँढिए जिनका गुणनफल 12 और योग 7 हो, जिससे मूल 3 और 4 मिलते हैं। यही दोनों समीकरणों के लिए कीजिए और आपके पास x के दो तथा y के दो मूल हो जाते हैं।

जाल यहीं से शुरू होता है। x के दो मान और y के दो मान होने पर चार जोड़ी-तुलनाएँ बनती हैं, और संबंध तभी टिकता है जब वह चारों पर टिके। बड़े x की बड़े y से तुलना करके रुक जाना ही इस विषय की सबसे आम गलती है।

तेज़ शुरुआत के लिए चिह्न वाला शॉर्टकट

आप अक्सर बिना हल किए ही मूलों के चिह्न सीधे समीकरण से पढ़ सकते हैं, जो तुरंत बता देता है कि तुलना साफ़ होने वाली भी है या नहीं।

x² + bx + c के रूप में लिखे द्विघात के लिए:

• यदि c धनात्मक है, तो दोनों मूल एक ही चिह्न के होते हैं; वह साझा चिह्न b के चिह्न के विपरीत होता है। तो x² + 7x + 12 के दो ऋणात्मक मूल हैं, और x² − 7x + 12 के दो धनात्मक।
• यदि c ऋणात्मक है, तो मूल विपरीत चिह्न के होते हैं, एक धनात्मक और एक ऋणात्मक।

यह इसलिए मायने रखता है कि जब एक चर के दोनों मूल धनात्मक हों और दूसरे के दोनों ऋणात्मक, तो तुलना बिना किसी अंकगणित के तुरंत तय हो जाती है: एक का हर मान दूसरे के हर मान से बड़ा। परिमाण निकालने से पहले इसी की ओर हाथ बढ़ाइए।

वह दिनचर्या जो अतिव्यापन के जाल में टिकती है

1. x समीकरण के दोनों मूल और y समीकरण के दोनों मूल निकालिए।
2. चारों मानों को मन की संख्या रेखा पर रखिए।
3. जाँचिए कि पूरी x परास, पूरी y परास से ऊपर बैठती है, नीचे, या छूती है।
4. यदि परासें बिल्कुल अतिव्याप्त नहीं होतीं, तो आपके पास सख़्त संबंध है: x > y या x < y।
5. यदि एक की सबसे बड़ी दूसरे की सबसे छोटी के बराबर है, तो संबंध में बराबरी शामिल है: x ≥ y या x ≤ y।
6. यदि परासें अतिव्याप्त होती हैं, ताकि कुछ x कुछ y से बड़े हों जबकि अन्य x अन्य y से छोटे, तो कोई संबंध स्थापित नहीं हो सकता।

अनुशासन तीसरे चरण में है: परासों की तुलना कीजिए, अकेले प्रतिनिधि मानों की नहीं।

बराबरी और कोई-संबंध-नहीं की स्थितियाँ हल करना

बराबरी के किनारे। मान लीजिए x का हल 2 या 3 है और y का 1 या 2। सबसे छोटा x, 2 है और सबसे बड़ा y, 2 है, इसलिए x हमेशा y से कम से कम उतना ही बड़ा है, बराबरी संभव है। उत्तर x ≥ y है, और यहाँ सख़्त x > y चुनना गलत है क्योंकि साझा मान 2 है। सीमाओं पर ख़ास ध्यान दीजिए।

अतिव्यापन। मान लीजिए x, 2 या 5 है और y, 3 या 4। अब x = 2 दोनों y मानों से नीचे है, जबकि x = 5 दोनों से ऊपर, इसलिए सभी जोड़ों पर न x > y टिकता है, न x < y। उत्तर यह है कि कोई संबंध स्थापित नहीं हो सकता। अतिव्यापन विधि की विफलता नहीं है; यह एक वैध और बार-बार आने वाला उत्तर है, और उसे जल्दी पहचानना साफ़ स्थितियों को हल करने जितना ही मूल्यवान है।

अंक कहाँ रिसते हैं

एक मूल की एक मूल से तुलना। अतिव्यापन की स्थिति ठीक इसी को दंडित करने के लिए है। हमेशा चारों जोड़ियाँ, या समकक्ष रूप से दोनों परासें, जाँचिए।

बराबरी की सीमा चूकना। जब एक समुच्चय की सबसे बड़ी दूसरे की सबसे छोटी के बराबर हो, तो उत्तर में “या बराबर” जुड़ता है। वहाँ सख़्त असमानता गलत मानी जाती है।

गुणनखंड में चिह्न की चूक। चूँकि तुलना पूरी तरह मूलों पर निर्भर है, एक गलत चिह्न पूरा उत्तर पलट देता है। चिह्न वाले शॉर्टकट को जाँच के रूप में इस्तेमाल कीजिए: यदि आपने x² + 7x + 12 गुणनखंडित किया और धनात्मक मूल मिले, तो चिह्न की गलती हुई है, क्योंकि धनात्मक c और धनात्मक b से ऋणात्मक मूल ही मिलने चाहिए।

जिन मानों की ज़रूरत नहीं उनके लिए हल करना। मूल केवल तुलना के लिए चाहिए। दशमलव को अतिरिक्त स्थानों तक मत ले जाइए और कुछ भी परिमेयकरण मत कीजिए; उन्हें क्रम में रखने भर की सटीकता तक के परिमाण ही प्रश्न को चाहिए।

वह अभ्यास जो काम आता है

तुलना को भरोसेमंद बनाने का तरीका है हर बार उसे कागज़ पर करना — चारों मान एक रेखा पर लिखकर और दोनों परासें अंकित करके — जब तक परास-तुलना, एक संख्या की एक संख्या से तुलना करने की प्रवृत्ति की जगह न ले ले। गुणनखंड को तेज़ रखने के लिए गणना गति का अभ्यास कीजिए, क्योंकि धीमा विभाजन तीस-सेकंड के प्रश्न को दो-मिनट का बना देता है।

द्विघात समीकरण प्रैक्टिस सेट हल कीजिए, जो इस विषय को तय करने वाली अतिव्यापन और बराबरी की स्थितियों के इर्द-गिर्द बना है, न कि उन साफ़ स्थितियों पर जो तय नहीं करतीं।